Nash-Gleichgewicht & dominante Strategien
Ein Gleichgewicht in dominanten Strategien ist stets auch ein Nash-Gleichgewicht – und bildet einen deutlich stabileren Zustand.
Der Zusammenhang zwischen dem Nash-Gleichgewicht und dominanten Strategien ist von zentraler Bedeutung für die Spieltheorie. Ein Gleichgewicht in dominanten Strategien stellt stets auch ein Nash-Gleichgewicht dar und bildet einen deutlich stabileren Zustand. Die Details ihrer Beziehung basieren auf den folgenden Definitionen.
1. Definitionen als Grundlage
- Eine dominante Strategie zeichnet sich dadurch aus, dass sie unabhängig von den Entscheidungen der Gegenspieler stets die höchste Auszahlung für den Spieler garantiert. Die Kenntnis der gegnerischen Strategie ist somit für die optimale Entscheidungsfindung nicht erforderlich.
- Ein Nash-Gleichgewicht stellt eine Kombination von Strategien dar, bei der die Strategie jedes Spielers die optimale Antwort auf die Strategien der Mitspieler darstellt. In diesem Zustand besteht für keinen Akteur ein Anreiz, einseitig von seiner gewählten Strategie abzuweichen.
2. Die direkte Korrelation
Es besteht eine direkte Korrelation zwischen dominanter Strategie und Nash-Gleichgewicht. Da eine dominante Strategie die optimale Antwort auf jede mögliche Strategie des Gegners darstellt, ist sie logischerweise auch die optimale Antwort auf die spezifische Strategie, die der Gegner im Gleichgewicht wählt. Folglich stellt jede Kombination dominanter Strategien ein Nash-Gleichgewicht dar.
- In Spielen, in denen für jeden Spieler eine eindeutige, streng dominante Strategie existiert, existieren keine weiteren Nash-Gleichgewichte. Solche Spiele werden als „dominant lösbar“ bezeichnet.
- Das Nash-Gleichgewicht stellt ein allgemeineres Konzept dar. Viele Spiele weisen Nash-Gleichgewichte auf, obwohl keine dominanten Strategien existieren. Ein klassisches Beispiel hierfür ist der „Kampf der Geschlechter“ (Battle of the Sexes). In diesem Spiel existieren zwei Nash-Gleichgewichte (beide Spieler entscheiden sich für Fußball oder beide für Kino), jedoch stellt für keinen Spieler eine der Optionen unabhängig vom Partner die optimale Wahl dar.
3. Abhängigkeit vom Wissen und Stabilität
- Abhängigkeit vom Wissen: Während die Wahl einer dominanten Strategie keine Annahmen hinsichtlich der Rationalität des Gegners erfordert, setzt das Nash-Gleichgewicht häufig voraus, dass die Spieler über Common Knowledge verfügen – das heißt, dass sie wissen, dass alle Beteiligten rational handeln und die Spielregeln kennen.
- Stabilität: Ein Nash-Gleichgewicht beschreibt einen Zustand, der „einmal erreicht, keine Motivation bietet, einseitig abzuweichen“. Dominante Strategien gehen darüber hinaus, da sie die optimale Wahl darstellen, noch bevor die Realisierung eines Gleichgewichts feststeht.
Identifikation in der Auszahlungsmatrix
In einer Bimatrix (Auszahlungstabelle) lassen sich beide Konzepte durch die Identifizierung der besten Antworten ermitteln. Indem man für jede mögliche Strategie des Gegners die eigene beste Antwort markiert, stellt ein Feld mit Markierungen für beide Spieler ein Nash-Gleichgewicht dar. Wenn ein Spieler in jeder Spalte (bzw. Zeile) die Markierung in derselben Strategie aufweist, handelt es sich hierbei um seine dominante Strategie.
Faustregel: Dominante Strategien sind ein Spezialfall des Nash-Gleichgewichts. Wo sie existieren, liefern sie die eindeutige und besonders stabile Lösung eines Spiels. Fehlen sie, bleibt das allgemeinere – aber potenziell mehrdeutige – Nash-Konzept als Lösungsansatz.